Una función transferencia
Es un modelo matemático que a
través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una
señal de entrada o excitación (también modelada).
El
cociente formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de
entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que
representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se
iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar
ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo
contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito,
respectivamente.
Considerando
la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo en
generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en
dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución,
formado por la excitación de entrada convolucionada con el sistema considerado,
dando como resultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en
ese sentido (el de la convolución), se tiene que observar que la función de
transferencia está formada por la deconvolución entre la señal de entrada con
el sistema. Dando como resultado la descripción externa de la operación del
sistema considerado. De forma que el proceso de contar con la función de
transferencia del sistema a través de la deconvolución, se logra de forma matricial
o vectorial, considerando la pseudoinversa de la matriz o vector de entrada
multiplicado por el vector de salida, para describir el comportamiento del
sistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso complicado, aunque
solo baste ver que la convolución discreta es representada por un producto de
una vector o matriz fija respecto de una matriz o vector móvil, o que en forma
tradicional se observa como una sumatoria.
Uno de
los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su
transformación matemática. Por
definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión:
Donde
H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s) ); Y (s) es la
transformada de Laplace de la respuesta y U (s) es la transformada de Laplace
de la señal de entrada.
La
función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un
sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada
La
salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
Y(s) =
{G(s)} {U(s)} \,\!
y la
respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace
inversa de Y(s):
y(t) =
L^{-1}[Y(s)] \,\!
Cualquier
sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una serie de
valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento de estos
sistemas frente a valores concretos.
Diagrama de Bode
Diagrama
de Bode de un filtro paso bajo Butterworth de primer orden (con un polo)
Un
Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la
respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas
separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que
corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico que lo desarrolló,
Hendrik Wade Bode.
Es una
herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en electrónica, siendo
fundamental para el diseño y análisis de filtros y amplificadores.
El
diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia
(ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular)
en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la
respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo.
El
diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia en función
de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar en
grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a
la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada.
Por ejemplo, tenemos una señal Asin(ωt) a la entrada del sistema y asumimos que
el sistema atenúa por un factor x y desplaza en fase −Φ. En este caso, la
salida del sistema será (A/x) sin(ωt − Φ). Generalmente, este desfase es
función de la frecuencia (Φ= Φ(f)); esta dependencia es lo que nos muestra el
Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar acotada entre -90° y 90°.
La
respuesta en amplitud y en fase de los diagramas de Bode no pueden por lo
general cambiarse de forma independiente: cambiar la ganancia implica cambiar
también desfase y viceversa. En sistemas de fase mínima (aquellos que tanto su
sistema inverso como ellos mismos son causales y estables) se puede obtener uno
a partir del otro mediante la transformada de Hilbert.
Si la
función de transferencia es una función racional, entonces el diagrama de Bode
se puede aproximar con segmentos rectilíneos. Estas representaciones
asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de
sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la
gráfica).
Esta
aproximación se puede hacer más precisa corrigiendo el valor de las frecuencias
de corte
Elaboración de
diagramas de bode
El
diagrama de Bode es un tipo de representación gráfica de funciones
complejas
(en nuestro caso, funciones de transferencia) dependientes de una variable real
(la frecuencia angular o lineal) En un diagrama de Bode se representa por un
lado el módulo de la función ( H(ω) ) y por otro la fase (ϕ(ω) ). La figura muestra
como ejemplo el diagrama de Bode de un filtro paso baja de primer orden, cuya
función de transferencia es
A la
hora de elaborar un diagrama de Bode hay que prestar atención al hecho
de que la escala correspondiente al eje de frecuencias es logarítmica. ¿Qué es
una escala logarítmica y por qué usarla? Las escalas logarítmicas se emplean
cuando se quieren representar datos que varían entre sí varios órdenes de
magnitud (como en el ejemplo de la figura 1, en el que la frecuencia varía entre
1 rad/s y 106 rad/s). Si hubiésemos
empleado una escala lineal, sólo apreciaríamos bien los datos correspondientes
a las frecuencias mayores mientras que, por ejemplo, todos los puntos por debajo
de 104 rad/s se Diagrama de Bode (módulo)
representarían en la centésima parte del eje de abscisas. Esto se muestra, como
ejemplo,
Ejemplo
En
este ejemplo se muestra un filtro Butterworth de orden 4 con frecuencia de
corte en 1000Hz. La implementación se basa en células Sallen-Key. En la
siguiente figura se muestra el circuito eléctrico:
Análisis de sistemas lineales. Diagramas de Bode
Esta
técnica de análisis de estabilidad es completamente diferente a la de los dos
apartados anteriores. También se la conoce como análisis de frecuencia. Se basa
en que cuando se introduce una señal sinusoidal en un sistema lineal se
obtiene, tras un periodo transitorio, una respuesta sinusoidal de la misma
frecuencia pero de amplitud diferente y desfasada. El análisis armónico estudia
el desfase y la razón de amplitudes entre la entrada y la salida. Para un
sistema de control por retroalimentación la razón de amplitudes (RA) nunca debe
ser mayor de 1 ya que entonces se amplificaría la señal y el sistema se
volvería inestable al retroalimentar la salida. El estudio del desfase es
importnte ya que de cierta manera
se
puede considerar que da los mismos problemas que un retraso.
Para
un sistema de primer orden con una entrada sinusoidal la razón de amplitudes
será:
Debido
a la importancia de conocer RA se ha desarrollado una técnica matemática para
determinarlo a partir de la función de transferencia sin necesidad de tener que
obtener la respuesta del sistema en tiempo real. Hay que sustituir s por iω, ya
que se trata de un número complejo, para poder expresar la función de
transferencia como un número complejo del tipo x + i y:
Para
eliminar separar la parte real de la compleja —eliminar el número complejo i
del denominado ha sido necesario multiplicar y dividir por el conjugado del
denominador. Cualquier número complejo W puede ser expresado, además de la
manera habitual x + i y, como un módulo r y un argumento ϕ:
Por
tanto, la función de transferencia se puede expresar en función de r y ϕ como:
Donde Kp 1 + ω2
τp 2 ! es la razón de amplitudes y ϕ es el desfase. De esta manera se logra
obtener el desfase y la razón de amplitudes sin tener que obtener la respuesta
en tiempo real para una entrada sinusoidal de amplitud M y frecuencia angular
ω.
